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Lo sconcertante caso del super enalotto

31 Maggio 2011 di Amministratore

Enrico D’Urso ci ha inviato un documento contenente interessanti spunti di riflessione sul paragone che a volte si porta come esempio per sentenziare l’ insicurezza del nucleare, raffrontando la probabilità di estrazione del “6″ al superenalotto e la probabilità di danneggiamento grave di un reattore nucleare.

In altre parole, Enrico D’Urso analizza ed esamina la veridicità di questa tesi: poichè il gioco del superenalotto avrebbe una probabilità piccolissima di estrazione del “6″ ma comunque ogni tanto capita che qualcuno vinca, ne discenderebbe quindi che il nucleare non sarebbe sicuro in quanto ha una probabilità superiore di fusione del nocciolo.
Segue testo del documento inviatoci.

Lo sconcertante caso del supernenalotto - di E. D’Urso (maggio 2011)

La statistica e la probabilità sono due materie affascinanti e strettamente legate, tutti sappiamo le regole base (la probabilità è il rapporto fra il numero di eventi favorevoli ed i eventi totali), ma in quanti casi si fa confusione nell’ambito scientifico per chi non mastica i concetti?

Prendiamo un caso semplice, il lancio della monetina. La probabilità di testa (che chiameremo T) o croce (invece C) è del 50%, infatti abbiamo sole due possibili combinazioni: T o C. consideriamo ora un caso più complesso, vogliamo sapere la probabilità di avere con due lanci due volte testa, la nostra probabilità è del 25%, infatti abbiamo una sola combinazione vincente (TT) sulle 4 possibili combinazioni (TT, TC, CT, CC). La probabilità del 25% è una probabilità teorica, infatti nel caso pratico è difficile raggiungere in un tempo t non eccessivamente lungo questa probabilità.

Con ad esempio 5 giocate reali c’è la probabilità non nulla di avere solo casi favorevoli o solo sfavorevoli, il 25% di probabilità di vittoria si ha quindi nella realtà solo con un numero di ripetizioni molto alto, tendente all’infinito.

Ora siamo arrivati ad una base chiara e concisa. Quello che non è detto nel caso precedente è che il numero di “vittorie” in un dato tempo dipende non solo dalla probabilità della stessa, ma anche dal numero di giocate fatte. Consideriamo un esempio “pratico”: consideriamo due tipi di dadi, uno con 6 facce (il solito e comune dado), ed uno icosaedrico con 20 facce (usato ad esempio nei GDR da tavolo).

Io ora faccio una scommessa, cioè che vince la ipotetica posta chi fa uscire la combinazione 1-1 con una coppia di dadi uguali.

La persona che ha la coppia di dadi da 6 ha un lancio al giorno, chi invece ha il dado da 20 facce ne ha 1 all’ora (cioè 24 al giorno), chi vincerà alla fine?
La probabilità secca mi dice che nel caso del dado cubico ho una probabilità di 1/36 (36 combinazioni possibili di cui una sola vincente), mentre per quello icosaedrico è di 1/400 (400 possibili con una vincente).

La probabilità secca è tutta a favore del mio dado cubico, è oltre 10 volte più probabile avere il mio caso favorevole col dado a 6 facce rispetto a quello a 20 facce. C’è però un MA, in un dato lasso di tempo t (quello appunto in cui faccio le mie puntate e giocate) quante giocate avrò fatto? Chi avrà vinto la puntata più volte?

Consideriamo un tempo lungo ma non eccessivo, cioè 1 anno. In questo lasso di tempo io col dado a 6 facce avrò fatto 365 giocate (1 giocata al giorno per 365 giorni), l’altro dado ne avrà fatte invece 8760 (24 al giorno per 365 giorni).

Considerando che questo anno sia un anno semi-ideale e che non ci siano forti deviazioni dalla media (per compensare questo, il caso reale dovrebbe prendere in considerazione un tempo t molto più lungo), quante volte ogni giocatore avrà vinto? Il dado cubico avrà vinto circa 10 volte (365 giocate / 36 giocate per ogni vittoria), il dado icosaedrico invece quasi 22 volte (8760 giocate / 400 giocate per ogni vittoria). Il nostro giocatore con dado icosaedrico avrà quindi alla fine vinto più volte, benché la probabilità nuda e cruda fosse a suo netto sfavore.

Andiamo ora al nocciolo della questione, raffronto fra un gioco a premi e la probabilità di danneggiamento grave del reattore.

Spesso e volentieri si parla di probabilità di fusione del nocciolo e come paragone si porta ad esempio il superenalotto, uno dei giochi ad estrazione con le minori probabilità di vincita al mondo. Si dice infatti, come paragone per l’ambito nucleare, una frase che recita all’incirca così:

“il superenalotto ha una probabilità piccolissima di estrazione, ma ogni tanto capita che qualcuno vinca, quindi il nucleare non è sicuro perchè ha una probabilità superiore“. numericamente il “core damaged“(fusione del nocciolo, la probabilità a cui si fa riferimento nella frase) di un reattore nucleare ha una probabilità superiore a quella del nostro gioco, ma è davvero così? o è solo una lettura maldestra dei numeri?

per lasciar stare sempre il solito ed inflazionato EPR, consideriamo l’AP1000, questo possiede una probabilità calcolata di 5*10^-7(0,0000005)
( http://www.westinghousenuclear.com/docs/...ochure.pdf )
la probabilità di fare SEI al superenalotto è di 1 su 622.614.630 (i possibili risultati), approssimato a 1.6*10^-9 (1 / possibili risultati, 0,0000000016)
di base quindi sembrerebbe che il reattore ha una probabilità di rompersi di circa 300 volte maggiore superiore a quella dell’estrazione al superenalotto.

visto che ci sono anche alcuni SEI ogni anno, ci dovrebbero essere quindi decine e decine di “core” che si fondono ogni anno, perchè non è così? perchè si usano e/o si leggono maldestramente i numeri!!!

vediamo cosa c’è dietro quei numeri. per il “core damaged” è calcolato come probabilità che il reattore a piena potenza per un anno ha di subire quel danno. dopo un anno al 100% della potenza la probabilità è quindi di 5*10^-7 (cioè 0,0000005), andando avanti con gli anni la probabilità cresce, non addentrandoci troppo nelle leggi della statistica, arriviamo a che dopo 2 milioni di anni (1 / probabilità) quel dato reattore avrà una probabilità del 50% di essersi fuso.

Come paragone possiamo considerare una immensa scacchiera di 2*10^6 caselle, lanciamo a caso una biglia e vediamo dove si ferma, quella è la nostra estrazione. faremo una estrazione all’anno per ogni reattore a piena potenza (se va al 50% della potenza faremo 0.5 estrazioni all’anno, cioè una ogni 2 anni). se imbrocchiamo la casella giusta il reattore si è fuso, altrimenti nulla, un’altra biglia l’anno prossimo.

Passiamo al superenalotto, ognuno sceglie 6 numeri su 90, consideriamo quindi una delle possibili 6*10^8 (622.614.630) combinazioni possibili ed usiamo lo stesso paragone di prima, una immensa scacchiera dove mandiamo le biglie. però c’è un però, io mando una sola biglia all’anno nel reattore, ma ad ogni estrazione del gioco a premi ci sono alcuni milioni di schedine e combinazioni giocate. consideriamo che in ognuna delle estrazioni vengano giocate 10 milioni di combinazioni-biglie (nella realtà sono di più), a fine anno quante biglie avrò? circa 1.5*10^9.
come si modificano quindi alla fine i numeri?

Unendo ora assieme il dato di probabilità (1.6*10^-9 per ogni combinazione) e quello delle estrazioni (1.5*10^9 biglie) che ne viene fuori? circa una estrazione vincente del SEI all’anno.

da ciò la probabilità di fusione del nocciolo di un reattore è di molti ordini di grandezza inferiore a quella di vincere un SEI al superenalotto, benchè i numeri all’apparenza sembrino dire il contrario. infatti, la probabilità è per ogni “estrazione”: nel caso del reattore nucleare hai una estrazione all’anno per reattore (quindi, al momento circa 440 estrazioni all’anno totali), nel secondo caso invece ne hai dell’ordine di grandezza del miliardo nello stesso periodo di tempo.

ora è certo, se si lanciasse una biglia all’anno per tutti e due i casi, alla fine l’AP100 “vincerà” molto più spesso del superenalotto, ma questa evenienza non è ipotizzata nella tesi di chi pronuncia l’affermazione iniziale, infatti questi considera la totalità delle estrazioni e delle giocate raffrontato con il reattore (o il parco reattori mondiale).

Ci sarebbe poi anche da disquisire sui reali danni che il “core damaged” avrebbe, se risultino circoscritti all’ isola nucleare o se ci siano conseguenze anche all’ esterno, o anche l’influenza del “fattore umano” durante l’ inconveniente (influenza sempre più ridimensionata nei reattori moderni), ma questa è un’altra storia…